PODSTAWY TEORETYCZNE

Przedstawione poniżej zagadnienia są wypunktowaniem najważniejszych definicji i wzorów koniecznych do zrozumienia rozwiązywanych zadań. Nie należy ich traktować jako pełnego wykładu z omawianego zakresu materiału. Aby w pełni zrozumieć rozwiązywane tutaj przykłady należy osobiście uczestniczyć w zajęciach (wykłady, ćwiczenia projektowe i laboratoryjne).


Proste rozciąganie
Proste rozciąganie
lub krótko - rozciąganie jest to takie obciążenie przyłożone do ścianek poprzecznych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które redukuje się do sił osiowych, leżących na obu końcach pręta.

Obciążeń przyłożonych do ścianek poprzecznych pręta, realizujących proste rozciąganie, jest nieskończenie wiele, a do wszystkich można stosować wzory uzyskane dla czystego rozciągania dzięki zasadzie de Saint-Venanta, jako że zgodnie z definicją pręta, pole ścianki poprzecznej jest małe w stosunku do powierzchni całego pręta. Zatem dla wszystkich obciążeń statycznie równoważnych sile osiowej, wyniki rozwiązania zagadnienia brzegowego będą takie same.

Tensor naprężeń dla pręta rozciąganego
Tensor naprężeń w układzie osi głównych centralnych (x, y, z) przybiera następującą postać:

           
           
   
         gdzie: N - siła podłużna w pręcie, A - pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta

Jedyna niezerowa składowa tensora naprężenia jest niezależna od położenia punktu (ani wzdłuż osi pręta - niezależność od współrzędnej x, ani w przekroju poprzecznym - niezależność od współrzędnych y i z), mamy zatem do czynienia z jednorodnym stanem naprężenia. Naprężenia w każdym punkcie pręta są takie same.

Postać tensora naprężenia powoduje, że niezależnie od płaszczyzny przecięcia wektor naprężenia przyjmuje postać:

           
czyli dla każdej płaszczyzny przecięcia wektor naprężenia będzie równoległy do osi pręta, oznacza to, że stan naprężenia jest jednoosiowy.

Z diagonalnej postaci tensora naprężenia odczytujemy ponadto, że naprężenia główne s2 = 0 i s3 = 0  oraz, że s1 = sx czyli że jest to maksymalne naprężenie normalne spośród wszystkich naprężeń normalnych, jakie mogą powstać przy przecięciu pręta dowolną płaszczyzną.

Tensor odkształceń dla pręta rozciąganego
Tensor odkształceń dla pręta rozciąganego ma postać diagonalną:

           
           
            gdzie: E - moduł sprężystości (Young'a), v - moduł ściśliwości (wsp. Poisson'a)

Elementy tensora odkształcenia są również niezależne od współrzędnych układu, mamy zatem do czynienia z jednorodnym stanem odkształcenia (identyczny w każdym punkcie ciała).
Ponieważ współczynnik Poisson'a dla znanych materiałów zawiera się w granicach 0 do 0.5 (teoretycznie od -1.0 do 0.5) możemy powiedzieć, że włókna równoległe do osi pręta odkształcają się bardziej niż włókna równoległe do płaszczyzny przekroju poprzecznego.

Podane odkształcenia pozwalają obliczyć wydłużenie pręta i skrócenie jego boków, np. dla przekroju prostokątnego o wymiarach b × h otrzymamy:

           

Elementy tensora odkształcenia leżące poza przekątną główną są równe zeru co oznacza, że pręt nie doznaje odkształceń kątowych. Mówimy wtedy, że w pręcie zmienia się tylko objętość, nie ma zmiany postaci - pręt o kształcie prostopadłościanu pozostanie prostopadłościanem, tylko o zmienionej objętości.

Na rysunku poniżej pokazano deformację pręta rozciąganego o prostokątnym przekroju poprzecznym, utwierdzonego na jednym końcu.


© Mariusz Hebda