Przykład 6.  Dana jest kratownica, złożona z dwóch prętów o przekroju poprzecznym F = 4 cm², obciążona siłą P = 100 kN jak na rysunku. Wyznaczyć wektor przemieszczenia u punktu K. Przyjąć E = 250 GPa, v = 0.3

1. Wyznaczenie sił w prętach kratownicy
Wyznaczając wektor przemieszczenia punktu K, będziemy obliczali wydłużenia poszczególnych prętów. Wydłużenie jak wiemy jest funkcją siły w pręcie, stąd rozwiązywanie zadania należy rozpocząć od wyznaczenia sił w prętach kratownicy.
Rozważając równowagę myślowo wyciętego węzła K otrzymamy:

Wartości kątów a i b obliczamy z zależności:

Powyższy układ równań przyjmie zatem postać:

Znaki przy wartościach sił oznaczają, zgodnie z przyjętą przy wyznaczaniu sił przekrojowych konwencją znakowania, że pręt nr 1 jest ściskany, a pręt nr 2 - rozciągany.

2. Plan przemieszczeń
Plan przemieszczeń jest to schematyczny rysunek, który przedstawia przemieszczenia konstrukcji w zależności od wydłużeń poszczególnych prętów. Rysunek ten jest celowo wykonywany w nienaturalnej skali, aby zauważyć odpowiednie zależności między wydłużeniami, które są wielkościami małymi w porównaniu z wymiarami konstrukcji. Przy wyznaczaniu planu przemieszczeń przyjmuje się trzy podstawowe założenia.

• Założenie 1. Pręty kratowe są nieskończenie sztywne w kierunku poprzecznym do swojej osi i wiotkie w kierunku podłużnym.

• Założenie 2. Elementy konstrukcji nie będące prętami kratowymi (ramy, belki, tarcze) są ciałami sztywnymi.

• Założenie 3. Obroty punktów, będących częściami konstrukcji, względem swoich biegunów następują po stycznej do okręgu, którego promieniem jest odległość punktu od bieguna. (Pominięcie ruchu po okręgu jest konsekwencją przyjętego w wytrzymałości materiałów założenia o małych przemieszczeniach.)

Z założenia 1 wynika, że pręty kratowe mogą się wydłużać bądź skracać, nie mogą się natomiast zginać. Zasadność trzeciego założenia zobaczymy analizując niniejszy przykład.

Rozdzielmy myślowo pręty od siebie i przeanalizujmy ich ruch oddzielnie. Pręt Nr2 jako rozciągany wydłuży się o odcinek D l₂ i obróci wokół punktu swojego podparcia. Przy pominięciu ruchu po okręgu, nowe położenie końca pręta Nr2 znajdzie się na prostej m₂ prostopadłej do osi pręta. Pręt Nr1 z kolei jest ściskany, ulegnie zatem skróceniu o odcinek D l₁ i obróci się wokół swojego punktu podparcia. Koniec pręta Nr1 będzie leżał na prostej m₁ prostopadłej do osi pręta. Ponieważ oba pręty są ze sobą trwale połączone, nowe położenie punktu K' znajdzie się na przecięciu prostych m₁ i m₂. Wektor łączący punkty K i K' to poszukiwany wektor u.

Współrzędne wektora u = [u, v] wyznaczymy w przyjęty układzie współrzędnych, stosując następujące rozumowanie. Zauważmy, że odcinki D l₁ i D l₂ są rzutami wektora u na kierunki osi prętów. Rzuty te można wyznaczyć z iloczynu skalarnego wektora u i wersorów e₁ i e₂ :

Niewiadomymi w powyższym układzie równań są tylko szukane współrzędne u i v wektora u mamy bowiem:

Otrzymamy zatem ostatecznie:

Na powyższym rysunku linią przerywaną oznaczono rzeczywisty ruch końców prętów po okręgu. Punkt K'' leżący na ich przecięciu to rzeczywiste nowe położenie punktu K. Wektor B łączący punkty K' i K'' to wektor błędu jaki popełniliśmy, pomijając w analizie ruch po okręgu. Współrzędne tego wektora w naszym przykładzie wynoszą:

Widać więc, że błąd ten jest do pominięcia w praktycznych obliczeniach inżynierskich.