Zadanie SK-3. Wyznaczyć funkcję kąta skręcenia pręta o przekroju kołowym, obciążonego momentem skręcającym, przyłożonym w sposób ciągły.
Rozwiązanie
Obciążeniem pręta jest moment skręcający rozłożony równomiernie na jednostkę długości. Obciążenie takie jest z formalnego punktu widzenia identyczne z obciążeniem ciągłym znanym ze statyki płaskich ustrojów prętowych. W ten sam sposób liczymy wypadkową (pole powierzchni obciążenie) i tak samo określamy położenie wypadkowej (środek ciężkości pola obciążenia). Zatem reakcja w utwierdzeniu pręta będzie wynosić
Funkcja momentu skręcającego będzie w tym przypadku liniowa
Aby wyznaczyć równanie funkcji kąta skręcenia policzmy najpierw kąt skręcenia
elementarnego odcinka dx położonego w odległości x
od początku układu współrzędnych.
Kąt skręcenia odcinka dx wynosi:
Wobec tego całkowity kąt skręcenia na odcinku x policzymy całkując
powyższą zależność:
Otrzymaliśmy zatem funkcję paraboliczną (funkcja kąta skręcenia zawsze jest
o stopień wyższa od funkcji momentu skręcającego). Proszę zwrócić uwagę
na fakt, że całka
przedstawia pole powierzchni pod wykresem momentu skręcającego na odcinku 0
- x. Aby narysować wykres funkcji kąta skręcenia sprawdźmy, w którym
punkcie osiąga ona ekstremum:
Widzimy zatem, że ekstremum wypada na końcu pręta. Z postaci funkcji a(x)
wnosimy, że jest to maksimum.
Wykresy funkcji momentu skręcającego i kąta skręcenia przedstawione są poniżej.
Na podstawie powyższego można stwierdzić, że pomiędzy momentem skręcającym a funkcją kąta skręcenia istnieje związek różniczkowy analogiczny, jak między siłą poprzeczną a momentem zginającym. Funkcja kąta skręcenia osiąga zatem ekstremum w miejscu zerowania się wykresu momentu skręcającego.
© Mariusz Hebda |