Przykład 2a.  Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.

1. Równanie charakterystyczne

               

Niezmienniki tensora naprężenia:

               
               
               

Równanie charakterystyczne przyjmuje postać:

              

Pierwiastki tego równania, czyli wartości główne tensora naprężenia, uporządkowane od największej do najmniejszej są następujące:

               

Dla sprawdzenia można policzyć pierwszy niezmiennik tensora:

               

2. Kierunki główne tensora naprężenia

Wyznaczając pierwszy kierunek główny, wybieramy dwa spośród trzech wektorów X1 , X2 , X3 i liczymy ich iloczyn kartezjański, pamiętając o parzystej permutacji wskaźników. Wynikiem tego iloczynu będzie wektor równoległy do pierwszego kierunku głównego.

               
               
               

               

Mając wektor równoległy do kierunku głównego z łatwością obliczamy wersor tego kierunku.

               

Analogiczne obliczenia wykonujemy dla drugiej wartości własnej:

               
               
               

               

               

Wersor trzeciego kierunku możemy wyznaczyć, obliczając iloczyn kartezjański dwóch pierwszych wersorów. Ponieważ wersory e1, e2 i e3 mają tworzyć bazę kartezjańskiego układu współrzędnych, czyli stanowić trójkę prawoskrętną, iloczyn kartezjański musi być liczony zgodnie z parzystą permutacją wskaźników, np.:

               

W naszym przykładzie mamy:

               

Przykład 2b.  Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.

Mamy tutaj do czynienia z tzw. płaskim stanem naprężenia. Powyższy zapis tensora należy rozumieć w ten sposób, że w trzeciej kolumnie i trzecim wierszu są same wartości zerowe. Możemy od razu napisać, że trzecia wartość główna tego tensora jest równa zero.

Pozostałe wartości główne obliczymy, korzystając ze wzorów wyprowadzonych dla płaskiego stanu naprężenia:

               
               

Pierwszy kierunek główny wyznaczymy obliczając tangens kąta między osią pierwszą układu wyjściowego a osią pierwszą układu własnego:

               

Układ własny tensora naprężenia przedstawiono poniżej.

Zgodnie z rysunkiem obliczamy współrzędne wersorów e1 , e2 będących bazą układu własnego:

                   
                   

Macierz przejścia do układu własnego będzie miała zatem postać:

                   

Przykład 3b.  Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.

Podany tensor naprężenia opisuje tzw. antypłaski stan naprężenia. Występuje on wówczas, kiedy w wierszu i odpowiadającej mu kolumnie poza przekątną są zerowe wartości. Wartość na przekątnej jest wtedy wartością główną a kierunek określony przez numer wiersza i kolumny - kierunkiem głównym. Pozostałe wartości główne obliczamy jak dla stanu płaskiego.

W analizowanym przypadku kierunek drugi jest kierunkiem głównym, określonym przez wersor

           

Wartość główna dla tego kierunku wynosi:

          

Pozostałe wartości główne obliczamy ze wzorów dla przypadku płaskiego:

                    
                   

Pierwszy kierunek główny określa kąt a1, którego tangens jest równy:

                   

Wersory wyznaczające kierunki pierwszy i trzeci:

                   

                   

Macierz przejścia do kierunków głównych:

                   

© Mariusz Hebda