Przykład 14.  W podanym łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich wykresy.

1. Obliczenie reakcji.

Konstrukcja jest symetryczna zatem na każdą reakcję pionową V przypada połowa wypadkowej obciążenia ciągłego:

Reakcje poziome, jako jedyne siły działające  w kierunku poziomym, muszą się równoważyć, natomiast ich wartości wyznaczymy z warunku zerwania się momentu od wszystkich sił z lewej lub prawej strony przegubu:

2. Geometria łuku.

Łuk jest paraboliczny, zatem jego oś jest opisana ogólnym równaniem:

Równanie to możemy wyznaczyć, gdyż znamy położenie trzech punktów należących do osi łuku. Przyjmując układ współrzędnych (x, z) w punkcie A, obliczamy:

Równanie łuku będzie zatem:

lub w postaci parametrycznej:

Określimy teraz zmianę kierunków stycznego i prostopadłego do osi łuku, celem późniejszego wyznaczenia równań sił podłużnej i poprzecznej. W tym celu obliczymy współrzędne wersora stycznego do krzywej łuku.

Wektor w styczny do krzywej, która jest określona równaniem parametrycznym, ma współrzędne:

Współrzędne wersora (kosinusy kierunkowe), zapiszemy zatem następująco:

3. Równania sił przekrojowych

Z uwagi na symetrię wystarczy rozpatrzyć połowę łuku, czyli przedział AB.

Przedział 0 < t < 4

Stosując konwencję znakowania analogiczną jak w belkach równanie momentu zginającego zapiszemy następująco

Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku wartości momentu zginającego są równe zeru. Możemy powiedzieć, że dany łuk nie podlega zginaniu.

Aby wyznaczyć równania sił podłużnej i poprzecznej zbudujmy schemat rozkładu sił poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny.

Obliczając wypadkową sił poziomych i pionowych działających na łuk po lewej stronie przekroju i podstawiając tak policzone wartości do powyższych równań, otrzymamy funkcje siły poprzecznej i podłużnej:

Widzimy zatem, że również siła poprzeczna jest zerowa w każdym punkcie łuku. Możemy powiedzieć, że dany łuk nie jest poddany ścinaniu. Jedyną niezerową siłą przekrojową jest siła podłużna.

Wyników otrzymanych w niniejszym przykładzie nie można uogólnić. Zerowanie się momentu zginającego i siły poprzecznej występuje tylko dla łuku parabolicznego, trójprzegubowego, obciążonego symetrycznie obciążeniem równomiernie rozłożonym na rzut poziomy łuku. Niemniej jednak dla wszystkich łuków (również kołowych), dla których dominującym obciążeniem jest obciążenie pionowe (np. ciężar własny), wartości ściskającej siły podłużnej są decydujące przy projektowaniu. Ta właściwość łuków została wykorzystana już przez starożytnych Rzymian, którzy przekrywali imponujących rozmiarów pomieszczenia łukowymi sklepieniami, dysponując tylko bloczkami kamiennymi lub ceglanymi łączonymi zaprawą. Siła podłużna, dociska bloczki do siebie tak silnie, że mała siła poprzeczna nie jest w stanie "wypchnąć" poszczególnych bloczków z łuku.

4. Wykres siły podłużnej