Przykład 2.  Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:

 Sprawdzenie:

2. Funkcje sił przekrojowych

Budując równania jakiejkolwiek funkcji, musimy przyjąć układ współrzędnych, w którym te równania zapiszemy. Dla belek prostych najwygodniej jest przyjąć układ jak na rysunku, tzn. na początku belki. Zdarza się jednak, że dla uproszczenia obliczeń, przyjmuje się dwa układy współrzędnych (na obu końcach belki). Sposób przyjęcia układu współrzędnych nie ma oczywiście żadnego wpływu na wykres siły przekrojowej jaki otrzymamy na podstawie jej równania.

Przed przystąpieniem do układania funkcji sił przekrojowych, należy w belce wyznaczyć tzw. punkty i przedziały charakterystyczne. Powodem jest inna postać funkcji sił przekrojowych w każdym przedziale charakterystycznym. Dla każdego przedziału należy napisać osobne równanie.

Punkty charakterystyczne są to:
- początek i koniec belki,
- punkty podparcia belki,
- miejsca przyłożenia sił i momentów skupionych,
- początek i koniec obciążenia ciągłego.

Przedziały charakterystyczne to odcinki belki pomiędzy punktami charakterystycznymi.

W analizowanej belce występuje pięć przedziałów charakterystycznych.

Przedział: 0 < x < 4

Pisząc równania w pierwszym przedziale dokonujemy podziału belki przekrojem przechodzącym przez ten przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych z lewej części przekroju (można oczywiście redukować układ sił po prawej stronie ale jest to bardziej pracochłonne).

Położenie przekroju nie jest ustalone w konkretnym punkcie, ale w odległość x od początku układu współrzędnych. Zapisując wynik redukcji układu sił zewnętrznych w miejscu o odciętej x otrzymujemy "automatycznie" funkcję danej wielkości.

Przedział: 4 < x < 6

Analogicznie do poprzedniego przedziału dzielimy belkę przekrojem przechodzącym przez analizowany przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych po jego lewej stronie.

Należy zwrócić uwagę na fakt, że do redukcji należy wziąć teraz pełną wartość obciążenia ciągłego i że położenie wypadkowej tego obciążenia jest już ustalone (x = 2). W pierwszym przedziale położenie wypadkowej było zależne od położenia przekroju.

Przedział: 6 < x < 8

Przedział: 8 < x < 10

Przedział: 10 < x < 14

Wyznaczyliśmy funkcje sił przekrojowych w każdym przedziale możemy zatem przejść do rysowania wykresów. Zanim to jednak zrobimy, zaznaczmy, że sposób tworzenia równań w dwóch ostatnich przedziałach został tutaj zamieszczony tylko w celach dydaktycznych. W praktyce, gdy belka ma więcej niż trzy, cztery przedziały charakterystyczne, przyjmuje się nowy układ współrzędnych na drugim końcu belki, co znacznie upraszcza obliczenia. Zaletę takiego podejścia pokażemy na przykładzie. Przyjmiemy mianowicie układ współrzędnych (x₁,z) jak na rysunku i wyznaczymy dla porównania funkcje sił przekrojowych w dwóch ostatnich przedziałach belki.

Przedział: 0 < x₁ < 4

Przedział: 4 < x₁ < 6

W wyniku prostszych obliczeń otrzymaliśmy funkcje, które w przyjętym układzie współrzędnych dadzą te same wykresy jak w układzie (x,z). Dla sprawdzenia można porównać wartości sił przekrojowych w odpowiadających sobie punktach charakterystycznych obliczone dla obu układów równań. Weźmy na przykład przedostatni przedział:

8 < x < 10	2 < x1 < 6

3. Wykresy sił przekrojowych

Po wyznaczeniu funkcji sił przekrojowych narysowanie ich wykresów nie przedstawia żadnych trudności. Ponieważ jednak będzie się od studentów wymagać dużej biegłości w rysowaniu tych wykresów, zwrócimy uwagę na kilka właściwości,  których znajomość znacznie uprości zadanie.

Gdy przyjrzymy się funkcjom momentu i siły poprzecznej w poszczególnych przedziałach spostrzegamy, że siła poprzeczna jest pochodną momentu. Obciążenie ciągłe q(x) jest pochodną siły poprzecznej pomnożoną przez (-1). Nie jest to przypadek, zachodzą bowiem zależności:

       zobacz dowód

W naszym przykładzie mamy:

0 < x < 4	4 < x < 6

Z zależności różniczkowych pomiędzy siłami przekrojowymi wynikają następujące wnioski, wykorzystywane przy rysowaniu wykresów:

• Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe q(x) = 0, to wykres sił poprzecznych w tym przedziale jest stały (aby narysować wykres wystarczy wyznaczyć wartość siły poprzecznej w jednym punkcie), natomiast wykres momentów zginających jest liniowy (do narysowania wykresu wystarczą dwie wartości, policzone na przykład w punktach charakterystycznych na końcach przedziału).

• Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe jest równomiernie rozłożone q(x) = const, to wykres siły poprzecznej jest liniowy, a wykres momentu zginającego parabolą drugiego stopnia, (itd. funkcja siły poprzecznej zawsze o stopień wyższa od funkcji obciążenia q(x), a funkcja momentu o stopień wyższa od funkcji siły poprzecznej).

• Dana funkcja ma wartość ekstremalną w tym punkcie gdzie jej pochodna jest równa zeru i jest to maksimum, gdy pochodna zmienia w tym punkcie znak z "+" na "-" a minimum gdy zmienia znak z "-" na "+". Zatem ekstremalne wartości na wykresie momentu zginającego występować będą wszędzie tam gdzie funkcja siły poprzecznej zmienia znak.

• Krzywoliniowy wykres momentu zginającego w każdym punkcie charakterystycznym jest styczny do prostej, której współczynnik kierunkowy jest równy wartości siły poprzecznej w tym punkcie. Liniowy wykres momentu jest odchylony od osi belki o kąt, którego tangens jest równy wartości siły poprzecznej w tym samym przedziale charakterystycznym. Powyższe zależności wynikają z interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji.

Widzimy zatem, że wykres siły poprzecznej należy narysować przed wykresem momentu zginającego, aby właściwie wykorzystać powyższe właściwości.

Wykresy sił przekrojowych należy rysować w skali, która umożliwi dokładne pokazanie wszystkich charakterystycznych elementów wykresu. Skala do każdego wykresu może być inna.

Przed przystąpieniem do rysowania wykresów prowadzimy pod schematem belki linie odnoszące przechodzące przez wszystkie punkty charakterystyczne. W każdym punkcie charakterystycznym wyliczamy wartości poszczególnych sił przekrojowych, redukując układ sił zewnętrznych z prawej lub z lewej strony tego punktu.

Siła podłużna N(x)

Wartości siły podłużnej są jednakowe we wszystkich przedziałach charakterystycznych:
N(x) = 20 kN = const.
Wykres siły podłużnej nie wymaga komentarza.

Siła poprzeczna Q(x)

Wyznaczamy wartości siły poprzecznej w każdym punkcie charakterystycznym, pamiętając o tym że w punktach, w których jest przyłożona siła skupiona (czynna lub bierna) te wartości musimy wyznaczyć z lewej i prawej strony każdego punktu.

Powstałe w ten sposób punkty łączymy linią prostą. Na odcinkach AC i BF wykres jest liniowo zmienny, gdyż występuje tu obciążenie q = 10 kN/m. Na pozostałych odcinkach wykres siły poprzecznej jest stały.
Dodatkowo spostrzegamy, że na odcinku AC funkcja Q(x) osiąga wartość zero, a więc w tym punkcie moment zginający będzie miał wartość ekstremalną. Ponieważ siła poprzeczna zmienia w tym punkcie znak z "+" na "-" będzie to maksimum.

Moment zginający M(x)

Tak jak w przypadku siły poprzecznej redukujemy odpowiednie układy sił zewnętrznych w punktach charakterystycznych.

Należy jeszcze wrócić do przedziału AC celem wyliczenia momentu maksymalnego. Punkt, w którym moment przyjmuje wartość maksymalną w tym przedziale wyznaczymy, przyrównując do zera równanie funkcji siły poprzecznej w tym przedziale:

Współrzędną tego punktu można również wyznaczyć bezpośrednio z wykresu, korzystając z twierdzenia Talesa:

Moment maksymalny:

We wszystkich przedziałach, gdzie obciążenie q = 0 wykres momentów jest liniowy. Wartości w punktach charakterystycznych wystarczą zatem, aby narysować wykres w tych przedziałach.
W przedziałach AC i BF wykres momentu jest parabolą drugiego stopnia. Do narysowania wykresu w tych przedziałach wykorzystujemy następujące dane: wartości na końcach przedziału, miejsca ekstremum i jego wartości oraz styczne do wykresu na końcach przedziału.

Tak więc w przedziale AC:

• na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = 22

• na końcu przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = - 18 (jednocześnie jest to wykres momentu w sąsiednim przedziale)

• wartość ekstremalna w punkcie x₀ = 2.2 m, tutaj oczywiście wykres styczny do linii poziomej.

W przedziale BF:

• na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = 40

• na końcu przedziału wykres styczny do linii poziomej (w tym punkcie moment osiąga wartość maksymalną bo siła poprzeczna jest równa zeru).
  

UWAGI:

Wypukłość wykresu momentu zginającego określa zwrot obciążenia ciągłego - wykres jest zawsze wypukły w kierunku działania obciążenia.

Wykres momentów (albo styczna do części krzywoliniowej) ulega załamaniu w tych punktach charakterystycznych, gdzie działa siła skupiona. W tych punktach bowiem na wykresie siły poprzecznej występuje skok wartości.

W miejscu przyłożenia do belki momentu skupionego nie ma na wykresie załamania, jest tylko skok o wartość przyłożonego momentu, natomiast sąsiednie fragmenty wykresu są równoległe.

W naszym przykładzie odcinki DE i EB wykresu momentu są do siebie równoległe. Ich kąt nachylenia spełnia zależność:

W przedziale CD: