PODSTAWY TEORETYCZNE

Przedstawione poniżej zagadnienia są wypunktowaniem najważniejszych definicji i wzorów koniecznych do zrozumienia rozwiązywanych zadań. Nie należy ich traktować jako pełnego wykładu z omawianego zakresu materiału. Aby w pełni zrozumieć rozwiązywane tutaj przykłady należy osobiście uczestniczyć w zajęciach (wykłady, ćwiczenia projektowe i laboratoryjne).

1. PROSTE ZGINANIE

1.1. Definicja
Proste zginanie jest to takie obciążenie przyłożone do ścianek czołowych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które na obu końcach pręta redukuje się do przeciwnych par, leżących w płaszczyźnie głównej centralnej (może to być płaszczyzna xy lub xz). Wektor momentu, jako prostopadły do płaszczyzny działania pary, będzie zatem równoległy do osi y lub do osi z.

Rys.1

Obciążeń przyłożonych do ścianek poprzecznych pręta, realizujących proste zginanie, jest nieskończenie wiele, a do wszystkich można stosować wzory uzyskane dla czystego zginania dzięki zasadzie de Saint-Venanta, jako że zgodnie z definicją pręta, pole ścianki poprzecznej jest małe w stosunku do powierzchni całego pręta. Zatem dla wszystkich obciążeń statycznie równoważnych sile osiowej, wyniki rozwiązania zagadnienia brzegowego będą takie same.

1.2. Zginanie w płaszczyźnie xz
Tensor naprężeń w układzie osi głównych centralnych (x, y, z) przybiera następującą postać:

           
           
            gdzie: I_y - moment bezwładności przekroju, M_y-  moment zginający

Postać tensora naprężenia powoduje, że niezależnie od płaszczyzny przecięcia wektor naprężenia przyjmuje postać:

           
czyli dla każdej płaszczyzny przecięcia wektor naprężenia będzie równoległy do osi pręta, oznacza to, że stan naprężenia jest jednoosiowy.

Z diagonalnej postaci tensora naprężenia odczytujemy ponadto, że naprężenia główne s₂ = 0 i s₃ = 0  oraz, że s₁ = s_x czyli że jest to maksymalne naprężenie normalne spośród wszystkich naprężeń normalnych, jakie mogą powstać przy przecięciu pręta dowolną płaszczyzną.

Tensor odkształcenia przy zginaniu przyjmuje postać diagonalną:

              
               
                gdzie: E - moduł sprężystości (Young'a), v - moduł ściśliwości (wsp. Poisson'a)

Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy o tym, że zginaniu towarzyszą jedynie odkształcenia liniowe.

1.3. Zginanie w płaszczyźnie xy
Jeżeli na przekrój działa moment M_z tensor naprężenia i odkształcenia przyjmują postać analogiczną jak dla momentu M_y należy tylko zmienić nazwy osi. Dla obciążenia pokazanego na rys.1 rozkład naprężeń normalnych będzie opisany następującym równaniem:

Znak minus w tym równaniu, wynika z konwencji znakowania naprężeń, która naprężeniom rozciągającym przypisuje znak plus. Moment M_z o zwrocie jak na rys.1 wywołuje naprężenia rozciągające w tych punktach przekroju, które mają współrzędną y ujemną, aby więc znak naprężenia w tych punktach był dodatni konieczne jest wprowadzenie znaku minus we wzorze na rozkład naprężeń.

Elementy tensora odkształcenia przyjmą postać:

1.4. Rozkład naprężeń przy zginaniu w płaszczyźnie xz
Rozkład naprężeń w przekroju poprzecznym nie zależy od współrzędnej y, czyli dla wszystkich włókien o tej samej współrzędnej z naprężenia normalne mają tą samą wartość. Rozkład naprężeń jest funkcją liniową, maksymalne naprężenia występują w skrajnych włóknach przekroju, natomiast we włóknach leżących na osi y naprężenia te są równe zeru. Oś y nazywa się z tego powodu osią obojętną przy zginaniu. Rozkład naprężeń przy zginaniu pręta momentem M_y pokazano na rysunku poniżej.

Rys. 2.

Moment M_y pokazany na powyższym rysunku powoduje rozciąganie włókien górnych w przekroju pręta. Ponieważ rozciąganiu przypisujemy znak "+", zatem naprężenia w punktach leżących powyżej osi obojętnej będą dodatnie a zwrot wektorów naprężenia narysujemy zgodnie z normalną zewnętrzną przekroju.

Wymiarowanie przekrojów obciążonych momentem zginającym polega na przyjęciu takich wymiarów przekroju lub - przy znanym przekroju - przyjęcie takiego momentu maksymalnego, aby był spełniony warunek:

               
                gdzie: W_y - wskaźnik wytrzymałości przekroju, R-  wytrzymałość materiału na rozciąganie

Moduł w powyższym wzorze wynika z faktu, że naprężenie, które może mieć znak ujemny przyrównać musimy do wytrzymałości materiału R, która zawsze jest określana jako wartość nieujemna, nawet w przypadku wytrzymałości na ściskanie.

Oczywiście powyższe rozważania i wzory obowiązują również przy zginaniu w płaszczyźnie xy, należy tylko zamienić współrzędne y na z.

2. ZGINANIE UKOŚNE

2.1. Definicja
Zginanie ukośne jest to takie obciążenie przyłożone do ścianek czołowych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które na obu końcach pręta redukuje się do przeciwnych par, leżących w tej samej płaszczyźnie ale nie zawierającej żadnej z osi głównych centralnych.

Rys. 3.

2.2. Rozkład naprężeń, oś obojętna
Wyznaczenie funkcji określającej rozkład naprężeń normalnych jest łatwe, jeżeli zastosujemy zasadę de Saint Venanta i obciążenie parą o wektorze M zastąpimy obciążeniem statycznie równoważnym złożonym z dwóch wektorów M_y i M_z takich, że:

Rozwiązanie dla każdego z obciążeń M_y i M_z jest znane. Korzystając z zasady superpozycji możemy rozwiązania te zsumować, otrzymując rozkład naprężeń dla zginania ukośnego.
           
                      

Jak widać z powyższego równania rozkład naprężeń w przekroju pręta jest liniową funkcją dwóch zmiennych y i z. Jeśli oś zmiennej zależnej s_x przyjąć zgodnie z osią pręta, obrazem geometrycznym funkcji przedstawiającej rozkład naprężeń, będzie płaszczyzna rozpostarta nad przekrojem pręta. Płaszczyznę tą nazywa się zatem płaszczyzną naprężeń. Miejsce przecięcia płaszczyzny naprężeń z płaszczyzną przekroju poprzecznego tworzy oś obojętną, czyli miejsce geometryczne punktów, w których naprężenia są równe zeru. 
Wyznaczenie położenia osi obojętnej jest ważną czynnością w procesie projektowania z dwóch praktycznych powodów:

• Oś obojętna dzieli przekrój na części rozciąganą i ściskaną.

• Punkty, w których naprężenia rozciągające i ściskające osiągają największe wartości są położone najdalej od osi obojętnej.

Równanie osi obojętnej otrzymamy przyrównując funkcję naprężeń do zera:

Po uwzględnieniu zależności:

                  
i po wykonaniu niewielkich przekształceń, możemy równanie osi obojętnej zapisać w postaci:

Z powyższego równania odczytujemy, że położenie osi obojętnej nie zależy od wartości momentu, ale od położenia jego wektora (kąt a). Oś obojętna pokrywa się z kierunkiem działania wektora momentu tylko w przekrojach, dla których I_y =  I_z. Jeżeli I_y > I_z, oś obojętna odchyla się w kierunku osi z, natomiast dla przekrojów w których I_y < I_z, odchylenie następuje w kierunku osi y. Na rys.4 pokazano różne położenia osi obojętnej w zależności od wartości głównych centralnych momentów bezwładności.

Rys. 4.

W przypadku zginania prostego oś obojętna zawsze pokrywa się z wektorem działania momentu, jest to bowiem jedna z osi głównych centralnych y lub z.

2.3. Bryła naprężeń
Rozkład naprężeń normalnych przy zginaniu prostym pokazany na rys. 2. w postaci jednego przekroju płaszczyzną xz jest wystarczający do pokazania naprężeń w każdym punkcie przekroju, ponieważ wartości naprężeń nie zależą od współrzędnej y. Przy zginaniu ukośnym taki rysunek nie wystarcza, gdyż naprężenia są funkcją dwóch współrzędnych y i z. Dlatego, gdy istnieje taka konieczność, rozkład naprężeń pokazuje się w aksonometrii, rysując tzw. bryłę naprężeń. Jest to bryła ograniczona przekrojem pręta, płaszczyzną naprężeń i powierzchnią boczną pręta.

3. MIMOŚRODOWE ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE

3.1. Definicja
Mimośrodowe rozciąganie lub ściskanie jest to taki przypadek obciążenia przyłożonego do ścianek czołowych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które na obu końcach pręta redukuje się do siły równoległej do osi pręta, ale nie leżącej na tej osi.

Rys. 5.

3.2. Rozkład naprężeń
Przypadki obciążenia pokazane na rys. 5 są statycznie równoważne, można więc uzyskać rozwiązanie, analizując układ po prawej stronie. Rozwiązania dla każdego z obciążeń P - proste rozciąganie, M_y - proste zginanie w płaszczyźnie xz, M_z - proste zginanie w płaszczyźnie xy są znane, korzystając więc z zasady superpozycji, otrzymamy rozwiązanie dla mimośrodowego rozciągania.

Uwzględniając zależności:

                   
możemy zapisać funkcję określającą płaszczyznę naprężeń w następującej postaci:

Dla ściskającej siły P wystarczy zmienić znaki w powyższej funkcji na przeciwne. Projektowanie prętów ściskanych nie może jednak polegać tylko na sprawdzeniu warunku wytrzymałościowego. Smukłe pręty mogą przed zniszczeniem, wynikającym z przekroczenia wytrzymałości na ściskanie, utracić swą stateczność. Uwzględnienie tego zjawiska wymaga odstąpienia od zasady zesztywnienia i jest tematem działu wyboczenie prętów prostych. Dlatego w zadaniach tego rozdziału założymy, że przy ściskaniu mamy do czynienia z prętami krępymi (pręty o dużym przekroju poprzecznym w stosunku do długości), które nie tracą stateczności przed zniszczeniem.

3.3. Oś obojętna
Podobnie jak w przypadku zginanie ukośnego równanie osi obojętnej uzyskamy, przyrównując do zera funkcję naprężeń:

                   
                    gdzie: i_y² = I_y / A, i_z² = I_z / A - kwadraty promieni bezwładności przekroju

Do dalszej analizy wygodnie jest przedstawić równanie osi obojętnej w postaci odcinkowej:

W przeciwieństwie do zginania ukośnego, w którym oś obojętna przechodziła zawsze przez środek ciężkości przekroju, tutaj może przyjmować następujące charakterystyczne położenia:

        1. Przechodzi przez przekrój poprzeczny.
        2. Jest styczna do przekroju.
        3. Przechodzi poza przekrojem poprzecznym.

W pierwszym przypadku oś obojętna dzieli przekrój na dwie części, w których naprężenia mają przeciwne znaki, czyli są rozciągające i ściskające. Przypadek drugi i trzeci położenia osi obojętnej świadczą o tym, że w całym przekroju naprężenia są jednego znaku, występuje więc albo rozciąganie albo ściskanie.

Rys. 6.

Zwróćmy uwagę na położenie osi obojętnej w stosunku do położenia siły (y₀ , z₀).

                   
Punkty a i b definiujące to położenie mają znaki przeciwne do współrzędnych przyłożenia siły. Oś obojętna przecina zawsze tą ćwiartkę układu współrzędnych, która leży na przeciw ćwiartki przyłożenia siły.
Im punkt przyłożenia siły leży bliżej środka ciężkości przekroju, tym współczynniki a i b większe, a w granicy otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i oś obojętną w nieskończoności - czyli przypadek prostego zginania. Z kolei gdy punkt przyłożenia siły oddala się od środka ciężkości współczynniki a i b maleją - jeżeli punkt przyłożenia siły będzie leżał w nieskończoności otrzymamy drugi graniczny przypadek obciążenia - proste zginanie z osią obojętną w środku ciężkości przekroju.
Przedstawione powyżej związki pomiędzy punktem przyłożenia siły a położeniem osi obojętnej, pozwalają przy znanym położeniu tej osi wyznaczyć punkt przyłożenia siły:

                   
3.4. Rdzeń przekroju
Rdzeń przekroju jest to miejsce geometryczne punktów w przekroju poprzecznym pręta, w których przyłożona siła wywołuje powstanie w całym przekroju naprężeń jednego znaku.
Widać z tego, że sile przyłożonej w rdzeniu przekroju musi odpowiadać oś obojętna położona poza przekrojem poprzecznym, natomiast sile położonej na granicy rdzenia - oś obojętna styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Rys. 7.

Wyznaczenie rdzenia przekroju polega na określeniu wszystkich położeń osi obojętnych stycznych do konturu i obliczenie dla każdej z tych osi punktów przyłożenia siły. Punkty te wyznaczają brzeg rdzenia.
Oczywiście osi obojętnych stycznych do przekroju poprzecznego jest nieskończenie wiele, ale w praktyce wystarcza określenie tylko kilku charakterystycznych osi obojętnych. Korzysta się przy ty ze związków:

                   
oraz z następującego twierdzenia:

Miejscem geometrycznym punktów przyłożenia siły, dla których osie obojętne tworzą pęk prostych, jest prosta.

Rys. 8.

Twierdzenie to zilustrowano na rys. 8. Dowód twierdzenia jest natychmiastowy, jeśli wykorzystamy równanie osi obojętnej:

                   
Równanie to podaje zależność między ustalonym punktem przyłożenia siły (y₀ , z₀) a bieżącymi punktami (y , z) osi obojętnej. Można je również odczytać w ten sposób, że podaje zależność między ustalonym punktem A(y , z) pęku osi obojętnych, a bieżącymi punktami (y₀ , z₀) w których przyłożona jest siła. Liniowość zależności względem y₀ i z₀ dowodzi twierdzenia.