Przykład 12.  W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych i narysować ich wykresy.

1. Obliczenie reakcji.

2. Równanie łuku.

Zanim przystąpimy do wyznaczenia funkcji sił przekrojowych w łuku, przypomnijmy, że układ sił zewnętrznych redukujemy w punkcie, który jest przecięciem osi pręta przekrojem do niej prostopadłym. Siły przekrojowe są składowymi zredukowanego układu sił zewnętrznych, zrzutowanymi na kierunki prostopadły i równoległy do przekroju. Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku, siła podłużna będzie styczna, a siła poprzeczna prostopadła do jego osi. Inaczej mówiąc, w każdym punkcie łuku wypadkową poziomą i pionową układu sił zewnętrznych, należy rzutować na inne kierunki. Aby napisać równania sił przekrojowych, konieczne jest zatem zapisanie zmiany tych kierunków w przyjętym układzie współrzędnych.
Przyjęcie układu jest oczywiście sprawą dowolną, dla łuku kołowego można na przykład przyjąć układ jak na rysunku powyżej. W tym układzie zapiszemy równanie łuku we współrzędnych biegunowych:

Promień łuku jest stały, więc zmienną niezależną w równaniu łuku, a także w równaniach sił przekrojowych będzie kąt a.

3. Równania sił przekrojowych.

0º < a < 90º

Po przecięciu łuku przekrojem prostopadłym do jego osi, redukujemy układ sił zewnętrznych przyłożonych po prawej stronie przekroju.

Zmienną niezależną jest kąt a. Wraz z jego wzrostem zwiększa się wartość współrzędnej z a zmniejsza współrzędna x. Równanie momentu zginającego zapiszemy następująco:

Kierunki siły podłużnej i poprzecznej, jak już wspomnieliśmy we wstępie, zmieniają się wraz ze zmianą kąta a. Aby ułatwić uwzględnienie tego w równaniach, zredukujmy sumę wszystkich sił poziomych H i pionowych V, działających na prawo od przyjętego przekroju i zrzutujmy je na kierunki sił N i Q, zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunku poniżej:

Pozostaje teraz tylko wyznaczyć funkcje sił H(a) i V(a) i podstawić do powyższych równań, aby otrzymać funkcje siły poprzecznej i podłużnej:

90º < a < 120º

Granicę tego przedziału charakterystycznego określa położenie siły skupionej. Współrzędna pozioma tego punktu jest równa x = - 3, zatem:

Pisząc równanie momentów w tym przedziale spostrzegamy, że współrzędna x zmienia się od zera w stronę wartości ujemnych, stąd odległość reakcji od bieżącego punktu wynosi 6 - x. Obciążenie ciągłe pionowe i poziome działają z pełną wartością i mają ustalone położenie wypadkowej. 

Do rozkładu sił poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny wykorzystujemy ten sam schemat co w poprzednim przedziale (zobacz uzasadnienie). Tak więc siła poprzeczna i podłużna będą równe:

Należy teraz obliczyć sumę sił poziomych i pionowych na analizowany i przekrój i podstawić do powyższych wzorów.

120º < a < 180º

W tym przedziale pojawia się siła skupiona, której pozioma odległość od bieguna redukcji wynosi (- 3 - x).
Dla x = -3 (punkt przyłożenia siły) daje to zero, a dla x = -6 (koniec przedziału) mamy odległość równą trzy.
Zauważmy też, że wszystkie człony wchodzące do równania momentów w poprzednim przedziale, tutaj będą miały identyczną postać. Można zatem przepisać równanie z przedziału 90º < a < 120º i dodatkowo uwzględnić wpływ siły skupionej.

Dla siły poprzecznej i podłużnej stosujemy oczywiście ten sam schemat co powyżej, zmieniają się tylko wypadkowe pionowa i pozioma:

4. Wykresy sił przekrojowych.

Trygonometryczna postać funkcji sił przekrojowych nie daje możliwości dokładnego narysowania wykresów tylko na podstawie wartości w kilku punktach przedziału charakterystycznego, jak w belkach i ramach. Aby otrzymać dokładny wykres funkcji, należy zastosować matematyczny aparat, polegający na określeniu wszystkich charakterystycznych elementów krzywej i na tej podstawie narysować wykres. Oczywiście można skorzystać z programów komputerowych rysujących wykresy funkcji, na przykład Mathcad, Mathematica.
Wykresy w niniejszym przykładzie narysujemy w sposób przybliżony, na podstawie wartości policzonych w kilku punktach. W tym celu wygodnie jest sporządzić tabelkę, w której wpiszemy wartości funkcji M, Q, N dla poszczególnych kątów. Pamiętać tylko należy, że w miejscu przyłożenia siły skupionej, musimy policzyć wartości siły poprzecznej i podłużnej z lewej i prawej strony.

Wyróżnione kolorem liczby, to wartości sił przekrojowych w punktach, w których łatwo możemy kontrolować poprawność obliczeń. Są to te punkty w łuku kołowym, gdzie styczna do łuku jest pozioma lub pionowa, w związku z czym siła poprzeczna i podłużna będą wprost równe zredukowanym siłom poziomej lub pionowej.

Wykresy narysujemy, podobnie jak w ramach, bezpośrednio na osi łuku, nanosząc wartości na liniach prostopadłych do osi. Można też rysować wykresy w takiej konwencji jak w belkach, tzn. na osi poziomej pod schematem statycznym łuku.

Równania sił przekrojowych zapisano w tym przykładzie w jednym układzie współrzędnych, co jak wiemy nie musi być zasadą. Można na przykład jedną ćwiartkę łuku zapisać w układzie jak wyżej, a drugą przyjmując układ jak na rysunku poniżej (przykład 13). Korzyścią jest prostszy układ sił do redukcji i operowanie wartościami kątów ostrych dla całego łuku. Trzeba natomiast dwukrotnie rozrysowywać schemat, określający kierunki podłużny i poprzeczny.

Ekstremalne wartości momentu zginającego wystąpią tam, gdzie siła poprzeczna się zeruje. Dla łuków kołowych bowiem, również istnieje zależność pomiędzy momentem zginającym i siłą poprzeczną. Dla układu współrzędnych takich jak przyjęty w tym przykładzie związek ten ma postać:

Dla układu współrzędnych jak na rysunku powyżej będzie zaś:

Związki powyższe łatwo sprawdzić, na przykład w przedziale 0º < a < 90º mamy: