Przykład 4. Dla podanej belki wyznaczyć przekrój, w którym występują maksymalne naprężenia normalne, a następnie w tym przekroju narysować oś obojętną i bryłę naprężeń normalnych. ( y0, z0 - osie centralne).
1. Maksymalny moment zginający
Dla belki swobodnie podpartej maksymalny moment zginający występuje
w środku rozpiętości. W tym przekroju naprężenia normalne będą największe.
Obciążenie działa w płaszczyźnie centralnej co oznacza, że wektor momentu
zginającego jest równoległy do osi centralnej y0.
Skoro płaszczyzna działania obciążenia nie pokrywa się z płaszczyzną
główną centralną mamy do czynienia z przypadkiem zginania
ukośnego.
Moment My0 rozciąga dolne włókna belki, zwrot wektora momentu pokazano na rysunku poniżej.
2. Charakterystyki geometryczne
Przekrój posiada jedną oś symetrii co nieco upraszcza obliczenia.
2.1. Środek ciężkości
2.2. Tensor bezwładności
2.3. Główne centralne momenty i główne centralne osie bezwładności
Osie główne centralne y, z są obrócone w stosunku do osi centralnych y0, z0 o kąt 45°. Oś y jest osią symetrii przekroju. Przejście od jednego układu do drugiego określa macierz przejścia:
3.
Rozkład naprężeń
Ponieważ wszystkie człony wzoru przedstawiając rozkład naprężeń
muszą być określone w układzie głównym centralnym, należy zrzutować
wektor momentu
My0 na osie y i z.
Wyznaczenie bryły naprężeń musi być też poprzedzone obliczeniem współrzędnych
wszystkich punktów narożnych przekroju w układzie głównym centralnym.
4.
Równanie osi obojętnej
Równanie osi obojętnej otrzymamy, przyrównując do zera rozkład
naprężeń
5.
Bryła naprężeń
Aby obliczyć naprężenia we wszystkich narożnych punktach przekroju, należy
wyznaczyć współrzędne tych punktów w układzie głównym centralnym.
Wykorzystamy tutaj tensorowe prawo transformacji dla wpółrzędnych:
Indeks 0 oznacza współrzędne punktów w układzie centralnym
(starym), a a
to macierz przejścia określona w pkt. 2.3.
Rys. 4.
Współrzędne punktów przekroju w układzie centralnym i głównym centralnym:
Naprężenia w poszczególnych punktach przekroju:
Bryła naprężeń:
© Mariusz Hebda |