Przykład 3. Zaprojektować przekrój podanej belki z uwagi na naprężenia normalne. Przyjąć wytrzymałość na ściskanie Rc = 100 MPa, a na rozciąganie Rr = 200 MPa. Narysować bryłę naprężeń. ( y0, z0 - osie centralne). 

1. Siły przekrojowe
Belka jest zginana w dwóch płaszczyznach, z których żadna nie jest płaszczyzną główną centralną. Mamy zatem do czynienia z przypadkiem zginania ukośnego. Aby wyznaczyć maksymalny moment zginający, skorzystajmy z zasady superpozycji i narysujmy wykresy momentów oddzielnie w dwóch płaszczyznach:

                                                                                 

                

   

 

 

 

 

Maksymalny moment zginający w obu płaszczyznach występuje w utwierdzeniu, zatem w przekroju utwierdzenia wystąpią największe naprężenia normalne. Chcąc zobrazować w przekroju wektor działania momentów My0 i Mz0, należy tak dobrać ich zwroty, aby wyznaczały parę sił, rozciągającą w obu przypadkach włókna górne w belce (włókna o dodatniej współrzędnej z0 dla momentu My0 i włókna o dodatniej współrzędnej y0 dla momentu Mz0).

2. Wyznaczenie głównych centralnych osi bezwładności
2.1. Środek ciężkości przekroju

       
2.2. Tensor bezwładności

       

       

2.3. Główne centralne momenty i główne centralne osie bezwładności
Do wyznaczenia wartości głównych tensora bezwładności wykorzystamy wzory dla przypadku płaskiego. (Porównaj z płaskim stanem naprężenia)

       

           

Kierunki głównych osi bezwładności wyznaczają w starym układzie wersory ey i ez, które zapisane wierszami utworzą macierz przejścia z układu centralnego do głównego centralnego.

       

       

3. Rozkład naprężeń
Aby wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych należy zrzutować wektory momentów My0 i Mz0 na kierunki y i z (w tym układzie znamy wzór na naprężenia normalne).

       

       

       

Równanie osi obojętnej otrzymamy przyrównując powyższą równość do zera:

       

4. Wymiarowanie
Po narysowaniu osi obojętnej wybieramy te punkty z przekroju poprzecznego, które są położone najdalej od niej. Punkty te charakteryzują się tym, że naprężenia w nich osiągają wartości ekstremalne. W punkcie D występuje największe rozciąganie, a w punkcie A największe ściskanie. Potrzebny wymiar przekroju dobierzemy tak, aby były spełnione warunki:

       

Współrzędne punktów A i D w układzie głównym centralnym wyznaczymy korzystając z prawa transformacji:

       
       

       

Jak widać decyduje ściskany punkt A, w którym naprężenia są największe, a dodatkowo wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza od wytrzymałości na rozciąganie.

Przyjmujemy zatem wymiar a = 9 cm.

5. Bryła naprężeń
Dla przyjętego wymiaru a = 9 cm rozkład naprężeń przyjmuje postać:

       

Współrzędne punktów narożnych przekroju w układzie głównym centralnym:

       

Naprężenia w narożnych punktach przekroju:

       

© Mariusz Hebda